Introduction

Entre la fin du XII^e siècle et le milieu du XIV^e, un ensemble de pratiques combinatoires apparaissent dans des écrits mathématiques du Maghreb. Étroitement liées à des préoccupations et à des travaux non mathématiques initiés et développés en Orient, depuis la fin du VIII^e siècle, ces pratiques s’inscrivent dans un contexte culturel large caractérisé, en particulier, par un certain renouveau des activités touchant à la langue et à la culture arabes. Les califes almohades, Les Hafsides d’Ifriqya et les Mérinides du Maghreb Extrême ne sont pas étrangers à cette dynamique qui a concerné les foyers culturels et scientifiques les plus importants de la région, comme Marrakech, Fès, Tunis et Béjaïa.

C’est précisément dans ces deux dernières villes que Ramon Lull (1232-1316) a séjourné quelque temps, en 1293 puis en 1314 à Tunis et en 1307 à Béjaïa)¹. Or, au cours des XII^e-XIII^e siècles, ces deux cités étaient des foyers culturels importants où ont travaillé des intellectuels éminents, comme le grand mystique Ibn ^cArabî (m. 1240), le philosophe Ibn Sab^cîn (m. 1270), ainsi que des scientifiques de haut niveau, comme l’astronome tunisois Ibn Ishâq et le mathématicien al-Qurashî (m. 1184), un spécialiste de l’algèbre et de la science des héritages, originaire de Séville et qui a enseigné un certain temps à Béjaïa².

Nous savons aujourd’hui que le penseur catalan avait une connaissance précise de quelques contributions arabes. C’est le cas, en particulier du Budd al-‘ârif [le passage obligé du connaisseur] d’Ibn Sab^cîn et du Maqâsid al-falâsifa [Les intentions des philosophes] d’al-Ghazzâlî (m. 1111). Il est tout à fait possible que c’est à l’occasion de ses séjours dans ces deux villes que Lull ait pris connaissance du contenu de quelques uns de ces écrits et qu’il s’en soit inspiré sans éprouver le besoin de citer leurs auteurs. Il est également possible qu’il ait été informé, oralement, des problèmes qui se discutaient dans les milieux cultivés et dont certains touchaient à ses propres préoccupations théologiques.

Mais il n’est pas impossible aussi, compte tenu de ses origines majorquaises, que Lull ait été imprégné, dès son adolescence, de certains éléments de la culture arabe encore présents dans son île natale. En effet, la reconquête de Majorque en 1229, ne pouvait pas effacer, du jour au lendemain, les conséquences de plus de trois siècles de civilisation arabo musulmane. Cela est d’ailleurs confirmé, indirectement, par la formation de Lull. En effet, sa maîtrise de l’arabe était telle qu’il avait pu rédiger plusieurs ouvrages dans cette langue : le Kitâb at-ta’ammul [Livre de la contemplation], la Disputatio Raimundi Christiani et Homeri saraceni, la Logica de Gatzel [La logique d’al-Ghazzâlî], L’apologia d’al-Kindî et La contrarietas alfolica³. De plus, ses biographes évoquent, à propos de ses séjours à Tunis et à Béjaïa, de longs débats avec ses contradicteurs musulmans. Or ces échanges ne pouvaient se faire, bien évidemment, dans une autre langue que l’arabe⁴.

En ce qui concerne les aspects combinatoires que l’on rencontre dans l’œuvre de Lull, et plus particulièrement dans L’Ars compendiosa inveniendi, L’Ars demonstrativa, L’Ars generalis ultima et la Taula general, il s’agit, mathématiquement parlant, de manipulations élémentaires même aux yeux des spécialistes maghrébins de son époque. Mais elles interviennent dans les écrits de Lull à une époque où ces manipulations n’étaient pas exceptionnelles dans les milieux intellectuels du Maghreb. On ne peut donc s’empêcher de s’interroger sur leur éventuelle filiation, directe ou indirecte, avec les pratiques et les préoccupations combinatoires arabes antérieures au XIII^e siècle et, plus particulièrement, avec celles qui sont attestées tout au long de ce siècle⁵.

Ces dernières apparaissent d’abord dans le cadre des activités mathématiques, sous forme de contributions théoriques inaugurant une orientation nouvelle. Leurs auteurs sont deux hommes de science de Marrakech : Ibn Mun^cim (m. 1228) et Ibn al-Bannâ (m. 1321) dont nous exposerons les résultats un peu plus loin. Cela suggère une première remarque, purement chronologique : comme Ramon Lull est né cinq ans environ après le décès du premier et six ans avant celui du second, il est tentant de supposer que l’époque du penseur catalan a été, pour les élites maghrébines, celle où les préoccupations combinatoires étaient d’actualité et peut-être même quelque peu à la mode, en particulier dans les milieux cultivés de la cour impériale de Marrakech et des élites des métropoles régionales, comme Tunis et Béjaïa.

En attendant que des recherches futures exhument d’autres aspects de ces préoccupations et de ces pratiques en Occident musulman, nous allons présenter les éléments essentiels révélés par la recherche de ces vingt dernières années, et qui illustrent leur présence dans des domaines variés : mathématiques bien sûr, mais également culturels, religieux et même astrologiques.

Notre présentation ne s’attardera pas sur les aspects techniques des résultats mathématiques que le lecteur pourra trouver, exposés en détail, dans des publications spécialisés dont nous donnerons les références. Elle s’intéressera surtout aux préoccupations qui ont été à l’origine de ces pratiques et aux domaines d’application qui intéressaient un public large.

Langue arabe et combinatoire

Dans le cadre de la civilisation arabo musulmane, la combinatoire est d’abord intervenue, en tant que pratique d’énumération et de dénombrement d’objets, dans des disciplines non mathématiques, en particulier en astrologie, en lexicographie et en métrique. Puis, à partir du milieu du IX^e siècle, avec le développement des activités mathématiques et astronomiques, sont apparues certaines manipulations combinatoires en géométrie, en algèbre, en arithmétique et en musique. Ces manipulations, souvent empiriques, étaient incontournables dans la mesure où elles étaient seules à pouvoir fournir des solutions à certains problèmes que les outils classiques ne permettaient pas de résoudre à cause, précisément, de la nature combinatoire de ces problèmes.

En astrologie astronomique, on a eu à dénombrer les différentes conjonctions des planètes dans le but de les utiliser dans la prévision des événements. Et cette préoccupation s’est retrouvée à toutes les époques, en particulier aux XIV^e siècle, comme en témoigne le mathématicien maghrébin Ibn Haydûr (m. 1413). En astrologie numérique, les spécialistes de ce domaine ont manipulé des nombres entiers de différentes manières: construction ou simple utilisation de carrés et de cercles magiques de plus en plus sophistiqués, manipulation de séries de lettres symbolisant des principes ou des noms divins, réalisation de “zayrija” ou “machine à prédire“, dénombrement de suites d’entiers pairs et impairs dans les manipulations divinatoires du khatt ar-raml [géomancie]⁶. Parmi les auteurs maghrébins dont les ouvrages circulaient au Maghreb à l’époque de Ramon Lull, il y a surtout as-Sabtî (seconde moitié du XII^e s.), bien connu pour sa zayrija très sophistiquée et hermétique⁷, et al-Bûnî (m. 1225), grand spécialiste des carrés magiques à vocation astrologique⁸.

Dans le domaine de la lexicographie, des auteurs ont été amenés, dès la seconde moitié du VIII^e siècle, en particulier dans le but de confectionner des dictionnaires, à énumérer et à dénombrer les racines de la langue arabe en tenant compte de différentes contraintes. C’est ainsi que l’on attribue à al-Khalîl Ibn Ahmad (m. 791) le premier dénombrement exact des racines bilitères, trilitères, quadrilitères et quintilitères possibles de cette langue. Après lui, le grammairien Sibawayh (m. 795) aurait déterminé le nombre des racines réellement utilisées, c’est-à-dire en tenant compte des incompatibilités de prononciation⁹.

Il n’est pas impossible, compte tenu de ses origines majorquines, que Lulle ait été imprégné, dès son adolescence, de certains éléments de la culture arabe encore présents dans son île natale

En parcourant les sources accessibles traitant de problèmes de la langue arabe, on a l’impression que, jusqu’au XII^e siècle, les spécialistes de ce domaine n’avaient pas encore à leur disposition des solutions arithmétiques aux problèmes de dénombrement des mots qui étaient traités d’une manière récurrente dans leurs ouvrages. C’est ce que semble confirmer la présence, dans l’ouvrage d’Ibn Durayd (m. 934), intitulé Jamharat al-lugha [Anthologie de la langue], d’un procédé mécanique pour répondre à l’une des questions posées : celle du dénombrement de tous les mots issus d’un groupe de lettres donné en tenant compte des permutations et des répétitions de ces lettres. Il s’agit d’un mécanisme constitué d’un disque fixe entouré de deux anneaux coulissants. Sur chacun des trois éléments, on dispose, dans n’importe quel ordre, les lettres considérées. Puis on fait tourner l’un ou l’autre des deux anneaux, à chaque fois d’un angle suffisant, pour obtenir un nouvel alignement de toutes les lettres. Pour dénombrer les mots de plus de 3 lettres, il suffisait d’ajouter le nombre d’anneaux nécessaires à l’opération¹⁰.

Nous ne connaissons pas l’inventeur de ce procédé astucieux, qui n’est d’ailleurs évoqué par aucun des mathématiciens qui ont eu à résoudre des problèmes de dénombrement. Il faut également remarquer que cette technique d’énumération n’est pas restée une exclusivité des linguistes et des grammairiens. Elle a été récupérée pour servir non pas d’outil de calcul mais de support visuel accompagnant des propos théologiques ou mystiques. C’est précisément ce que l’on observe chez Ibn ^cArabî et chez al-Bûnî. Le premier utilise, dans son Kitâb inshâ’ ad-dawâ’ir [Livre de production des cercles], cinq cercles concentriques pour illustrer les cinq niveaux qui relient la connaissance humaine et la connaissance divine¹¹. Le second manipule, dans son Shams al-ma^cârif al-kubrâ [Le grand soleil des connaissances], des séries de lettres symbolisant des notions parfois semblables à celles qu’utilise Ramon Lull¹².

Les contributions combinatoires des mathématiciens de Marrakech

D’après les textes qui nous sont parvenus, c’est à partir des préoccupations linguistiques exprimées pour la première fois au VIII^e siècle par al-Khalîl Ibn Ahmad (m. 976), que le mathématicien Ibn Mun’im a entrepris ses recherches purement combinatoires. Ces dernières ont abouti à l’élaboration, pour la première fois dans l’histoire des mathématiques, d’un chapitre autonome contenant des définitions, des propositions et des procédés de démonstration en vue de résoudre complètement le problème posé par les linguistes des VIII^e-IX^e siècles. On trouve ce chapitre dans son ouvrage intitulé Fiqh al-hisâb [La science du calcul] qui traite par ailleurs de calcul et de théorie des nombres¹³.

Jusqu’au XIIe siècle, les spécialistes en langue arabe n’avaient pas encore à leur disposition des solutions arithmétiques aux problèmes de dénombrement des mots qui étaient traités d’une manière récurrente dans leurs ouvrages

Grâce au biobibliographe du XIII^e siècle, Ibn ôAbd al-Malik, nous disposons de quelques informations sur la vie et l’œuvre de ce savant. Il est originaire de la ville andalouse de Dénia. On ne sait pas pourquoi et à quelle époque il a quitté sa ville natale pour aller s’installer définitivement à Marrakech, alors capitale de la dynastie almohade. C’est dans cette ville qu’il a acquis un second métier, celui de médecin, et où il a enseigné, parallèlement, les mathématiques. Son biographe le décrit comme un des meilleurs spécialistes de son époque en géométrie et en théorie des nombres. En plus de l’ouvrage que nous avons évoqué, il a publié des écrits sur la géométrie euclidienne et sur les carrés magiques. Mais aucun des livres traitant de ces deux dernières disciplines ne nous est parvenu.

Le titre du chapitre consacré à la combinatoire est très significatif puisque il s’agit ni plus ni moins du “dénombrement des mots qui sont tels que l’être humain ne peut s’exprimer que par l’un d’eux“. L’auteur dit vouloir traiter ce problème d’une manière générale, même s’il est contraint, pour fixer les idées, de le poser en termes particuliers, en se servant de l’alphabet arabe. En effet, les outils élaborés permettent bien de dénombrer les mots de n’importe quelle langue, quelle que soit la longueur de ces mots.

Ibn Munôim commence par établir, à partir d’un ensemble de couleurs de soie qui joue le rôle de modèle abstrait, une règle permettant de déterminer toutes les combinaisons possibles de n couleurs, p à p. Et c’est ainsi qu’il est amené à construire le fameux triangle arithmétique, plus connu aujourd’hui sous le nom de “triangle de Pascal“. Puis il établit un ensemble de résultats, importants pour eux-mêmes, mais qui lui servent à trouver la réponse à la question de départ.

C’est cette contribution importante qui est probablement à l’origine d’une orientation nouvelle en mathématiques puisqu’elle a connu des prolongements très intéressants. Il est possible d’ailleurs qu’un des étudiants de ce mathématicien, nommé al-Qâdî ash-Sharîf (m. 1283), ait été le premier à commenter ou à développer les résultats de son professeur. Mais, son ouvrage qui pourrait nous renseigner sur cela, et qui est intitulé al-Qânûn fî l-hisâb [Le canon du calcul], n’a pas encore été retrouvé. Quoi qu’il en soit il est tout à fait raisonnable de penser que cet étudiant a enseigné le contenu du chapitre combinatoire d’Ibn Mun’im. Cette hypothèse est confortée par les contributions d’un étudiant d’ash-Sharîf qui n’est autre que le fameux Ibn al-Bannâ.

Ce dernier reprend certains résultats de son éminent prédécesseur en proposant de nouvelles démonstrations et en établissant des liens avec des propositions de théorie des nombres bien connues. Ces contributions sont exposées dans deux ses livres : Le Raf^c al-hijâb [Le lever du voile] et le Tanbîh al-albâb [L’avertissement aux <gens> intelligent]. Dans le premier, il établit un résultat, longtemps attribué à Pascal (m. 1662), qui consiste en une formule purement arithmétique permettant de calculer toutes les combinaisons (sans répétition) d’un nombre donné d’objets. Ce résultat évite de construire le triangle d’Ibn Mun^cim mais il ne permet pas de résoudre complètement le problème posé par al-Khalîl Ibn Ahmad¹⁴. Dans son second ouvrage, il rassemble un certain nombre de problèmes qui sont tous inspirés par des activités sociales, économiques, culturelles ou par des pratiques religieuses. On y trouve, en particulier, le dénombrement de toutes les lectures possibles d’une même phrase, selon les règles de la grammaire arabe, l’énumération des différents cas d’héritage possibles lorsque les héritiers sont n garçons et p filles, etc. C’est également dans ce petit livre que l’auteur évoque un problème qui a nécessité l’établissement d’un résultat combinatoire général. Il s’agit du dénombrement, selon les exigences du rite malékite, des prières à effectuer pour compenser l’oubli de certaines d’entre elles¹⁵.

Les pratiques combinatoires de Ramon Lull

Bien sûr, toutes ces questions étaient bien éloignées des préoccupations de Ramon Lull. Mais nous pensons qu’il était nécessaire de les évoquer pour donner une idée plus concrète de l’environnement scientifique, culturel et cultuel dans lequel vivaient et travaillaient les différentes personnes qui ont eu à rencontrer le penseur catalan, à Tunis et à Béjaïa, et qui ont eut à débattre avec lui. Dans le même ordre d’idées, il serait souhaitable de se pencher sur le contenu des écrits mathématiques de Lull et, grâce à des études comparatives, de tenter de déterminer les éventuelles sources arabes qu’il aurait pu consulter, soit directement, soit à travers les traductions latines et hébraïques qui étaient disponibles à Barcelone et probablement aussi dans son île natale.

Pour en venir aux éléments de combinatoire que nous avons pu déceler dans les écrits de Lull qu’il nous a été possible de consulter, il semble qu’ils proviennent tous de la lecture d’ouvrages arabes traitant de théologie, de mystique et de philosophie et plus particulièrement de ceux que nous avons déjà évoqués. Dans son “Ars compendiosa inveniendi veritatem“, Lull utilise 3 anneaux concentriques entourant un disque dans lequel il a disposé 5 triangles reproduits trois fois et dont les sommets forment ainsi une étoile à 25 branches. Il s’agit de sa fameuse “figure T“¹⁶. Quant à la “figure A” que l’on trouve dans son L’Ars generalis ultima, elle est plus dépouillée mais elle repose sur le même principe.

Il serait souhaitable de se pencher sur le contenu des écrits mathématiques de Lulle et, grâce à des études comparatives, de tenter de déterminer les éventuelles sources arabes qu’il aurait pu consulter

Du point de vue strictement mathématique, c’est plutôt la Taula general qui révèle une démarche de type combinatoire visant un résultat que l’on peut qualifier de mathématique. En effet, on y trouve une véritable énumération des combinaisons 4 à 4, avec répétition et permutation, d’un certain nombre de lettres de l’alphabet (variant entre 9 et 15 si l’on tient compte des différentes figures utilisées par Lull dans ses ouvrages). Cette énumération pouvait être obtenue manuellement après avoir fixé l’ordre dans lequel doivent être combinées les lettres. Mais comme Lull connaissait le procédé des anneaux mobiles d’Ibn Durayd, il nous paraît plus vraisemblable qu’il ait obtenu ses colonnes de mots en faisant tourner le nombre d’anneaux nécessaires à l’opération de comptage¹⁷. Mais c’est là un travail fastidieux et pénible dont Lull se serait dispensé sans hésitation s’il avait connu les résultats établis par Ibn Mun^cim.